DOE系列之七：解決配方問題的DOE高手
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在實際工作中，常常需要研究一些配方（或稱為配比）的試驗問題，這種問題常常出現(xiàn)在冶金、化工、醫(yī)藥、食品等行業(yè)中。例如，不銹鋼是由鐵、鎳、銅和鉻4種元素組成；閃光劑由鎂、硝酸鈉、硝酸鍶及固定劑組成；復合燃料、復合塑料、混紡纖維、混凝土、粘接劑、藥片、飼料等都是由多種成分按相應比率制作而成，等等。這些產(chǎn)品都可以被統(tǒng)稱為混料（Mixture），組成混料的各種成分可以被稱為混料成分或分量，同時它們也是混料試驗中的因子（Factor）。 它們的比例關(guān)系對產(chǎn)品的最終質(zhì)量特性起到了決定性的作用。
這時候，如果我們要用試驗設(shè)計的方法進行分析的話，會發(fā)現(xiàn)兩個與眾不同的特征。一是通常人們關(guān)心的是各種分量的比例而不是其絕對數(shù)值，二是所有分量之間存在一種特殊的約束條件，即總和一定為1或其他常數(shù)。這兩個與眾不同的特征使此類試驗設(shè)計的研究方法與此前我們討論過的所有試驗設(shè)計類型都有明顯的區(qū)別，直接應用以往的試驗設(shè)計方法顯得頗為牽強，所得到的分析結(jié)果也降低了可信度。
如何解決這個棘手的問題呢？事實上，對于這種分量之和總是為一定常量的試驗設(shè)計，我們常常會請一位精于此道的
DOE高手——混料設(shè)計（Mixture Design）來幫忙。本期的DOE系列連載就將具體介紹混料設(shè)計的原理與應用。同樣，混料設(shè)計的實現(xiàn)也離不開統(tǒng)計分析軟件的支持。高端
六西格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP是目前業(yè)界最先進的六西格瑪工具，其在DOE方面的表現(xiàn)最為優(yōu)秀，在本期案例中我們將繼續(xù)以中英文雙語版JMP軟件作為DOE方案實現(xiàn)的載體。
一般來說，混料設(shè)計中的混料成分至少有3種，它們之間的約束特征可以用圖一來形象地表示。也就是說，所有的試驗點均落在一個特定三角形平面上，而不是以往的一個立方體內(nèi)。這個現(xiàn)象進一步地提示我們可以利用“三線坐標系”巧妙又直觀地揭示混料設(shè)計中各分量的組成狀況。其原理來源于平面幾何中的有關(guān)知識：等邊三角形內(nèi)的任何一點到三條邊的距離之和等于該三角形的高。如果設(shè)三角形的高為1，則任何一點的坐標就可以用其到三個邊的三個距離來表示。當然，這三個坐標并不獨立——三者之和恒為1，這恰好與混料設(shè)計中“共有3種混料成分，所有成分的比例之和總是為1”的條件相對應，圖二就是一張三線坐標系的示意圖。當混料設(shè)計中的混料成分增至4種時，等邊三角形將變成正四面體，增至5種以上時，就沒有直觀的圖形了，但是我們可以以此類推，想象一個多維空間圖形的存在。
混料設(shè)計中最重要，也是最有特色的當屬試驗點的選取方法。常見的選取方法有四種，分別是單純形中心設(shè)計（Simplex Centroid）、單純形格子點設(shè)計（Simplex Lattice）、極角點設(shè)計（Extreme Vertices）和篩選設(shè)計（ABCD Design）。本文將以最為典型的“單純形格子點設(shè)計”為代表，詳細介紹如何選取試驗點。
單純形格子點設(shè)計的基本思想是將全部格子點集內(nèi)每個點依次選中。格子點是由因子和階數(shù)兩個參數(shù)給定, 此格子點集記為{ ， }。以三種混料成分（即三個因子）為例，三因子一階數(shù)的格子點集合（記作{3，1}）就是 3 個頂點全體（參見圖三的左圖），三因子二階數(shù)的格子點集合（記作{3，2}）就是將3條邊各二等分，由 3 個頂點及 3條邊中點全體組成的集合（參見圖三的中圖）。三因子三階數(shù)的格子點集合（記作{3，3}）就是將3條邊各三等分，過各分點畫與另兩邊平行的直線，由平行線所交而形成的格點（共10個）組成的集合（參見圖三的右圖）。依此類推, 但通常階數(shù)到3為止就足夠了。{3，3}格子點的坐標如圖四所示。
關(guān)于混料設(shè)計其他眾多的選點設(shè)計方案，有興趣的讀者可查閱相關(guān)書籍或統(tǒng)計軟件JMP的幫助文件說明來進一步豐富自己的視野。這里還是通過一個實際的工業(yè)案例來介紹混料設(shè)計的應用特點。
場景 : 在新型高強度合金冶煉技術(shù)中，關(guān)鍵是添加劑的配比問題。假設(shè)添加劑總量占總量 2%，而添加劑由A,B,C共3種成分構(gòu)成。試安排一個試驗設(shè)計，求出3種分量的配比使斷裂強度達到最大。
顯然，這個試驗非常適合用混料設(shè)計的方法來解決。綜合考慮試驗成本等因素，首先采用了前文介紹過的“三因子三階數(shù)的單純形格子點設(shè)計”選擇試驗點。然后根據(jù)試驗計劃開展試驗，完成試驗后將數(shù)據(jù)匯總，得到斷裂強度的測量值。
同時，我們也可以利用統(tǒng)計分析軟件JMP提供的繪圖工具“三元圖”來形象地表現(xiàn)此次混料設(shè)計中的選點方案。
關(guān)于混料設(shè)計的數(shù)據(jù)分析，其方法和之前介紹的方法類似，主要也是通過“標準最小二乘法”來實現(xiàn)。有了統(tǒng)計分析軟件JMP的幫助，這部分的工作顯得更加輕松有效。延續(xù)以往的做法，在此依然用JMP軟件中可視化效果極佳的預測刻畫器說明統(tǒng)計建模的分析結(jié)果。如圖七可知，當添加劑的配比中成分A為0%，成分B為20.329%，成分C為79.671%時，斷裂強度將會達到最大的142.7659。我們可以在此基礎(chǔ)上進行驗證試驗。
到目前為止，我們已經(jīng)向大家介紹了很多關(guān)于DOE的內(nèi)容，但是近百年來學術(shù)界和企業(yè)界不斷積累起來的DOE知識經(jīng)驗還遠遠不止這些。從下一期起，更多新穎實用的DOE理論與應用將會陸續(xù)登場亮相。